2015年全国高中数学联赛山西预赛详细解答

2015年全国高中数学联赛山西预赛详细解答

2015年全国高中数学联赛山西预赛详细解答

一、填空题（每小题8分，共64分）

集合M包含数字1到12，集合A是M中的三元组，元素a, b, c都是平方数，求满足条件的集合A的数量是多少，若sin x等于cos y

，则|sin cos |． 5

[id_993475853]

这个长方体的体积是8立方厘米，总表面积是32平方厘米，它的长宽高按比例递增，形成等比数列，那么这个长方体所有边长加起来的总和是多少。

x2y2

椭圆的焦点和短轴的一个端点构成正三角形的三个顶点，这个椭圆的长轴和短轴的比值是根号三，焦点之间的距离等于短轴长度，正三角形的每条边都相等，椭圆的方程是x平方除以a平方加上y平方除以b平方等于一，其中a大于b且都大于零

ab

焦点到椭圆上的点的最短距离为招，则(a,b)=．

这个数列每一项都不相同，都是正数，并且这些数的倒数组成一个等差数列，那么第一个数乘以第二个数，第二个数乘以第三个数，第2014个数乘以第2015个数

a1a2015

设a，其中x、y、z等于1，x、y、z均不小于0，则，将各位数字总和为8的所有正整数，按照从小到大的顺序排列，构成一个数列{an}，这个数列被称为P数列，那么2015是它里面第几项

二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分）

9.给定圆P：过圆心P作直线 1

x2 y2 2x及抛物线S：y2 4x，

直线同那两条曲线一共交叉出四个点，从上往下来排列依次是A、B、C、D，线段AB、BC、CD的公式是

如图，A1、B1、C1是ABC外接圆⊙O上的点，且A1A平行于B1B，也平行于C1C, P是⊙O上的任意一点，当直线PA延伸出去，会与直线BC相遇于点D，当直线PB继续延伸，会与直线AC相遇于点E，当直线PC1延伸，会与直线AB相遇于点F．需要证明的是，D、E、F这三个点位于同一条直线上

在集合M={1，2，…，200}中，寻找子集A，其元素都能拆成两个正整数的平方和形式，问子集A中最多能包含多少个数，答案是26个，提示如下：观察6到33这个区间的平方数，有9、16、25这三个数，不妨设子集元素为a、b、c，若a、b、c三个数之和是9，则c只能是6、5或4，这时子集可能是{1，2，6}、{1，3，5}或{2，3，4}；若a、b、c三个数之和是16，则7到12之间是c的可能取值，可以组成子集{1，3，12}、{1，4，11}、{2，3，11}、{1，5，10}、{2，4，10}、{1，6，9}、{2，5，9}、{3，4，9}、{1，7，8}、{2，6，8}、{3，5，8}、{3，6，7}、{4，5，7}；若a、b、c三个数之和是25，则10到12之间是c的可能取值，可以组成子集{2，11，12}、{3，10，12}、{4，9，12}、{4，10，11}、{5，8，12}、{5，9，11}、{6，7，12}、{6，8，11}、{6，9，10}、{7，8，10}，总共得到26个子集，因此最大个数是26。

75

提示：由条件得

2sin cos (sin cos )2 1

2425

(sin cos )2 1 2sin cos

497，所以 |sin cos | ． 255